不定度量空间中一类算子的谱

一、不定度规空间内的一类算子的谱（论文文献综述）

吴晓红^[1]（2020）在《线性算子谱的相关问题研究》文中研究说明算子理论是泛函分析中讨论的一个极为重要的研究领域,是深刻反映众多数学问题本质的一个数学分支,具有十分重要的应用价值和深刻的研究意义.线性算子的谱及其相关问题是算子理论中一个重要的组成部分,在数学和物理学的许多分支有着广泛应用,如矩阵论、微分方程、积分方程、控制论和量子力学等.由于方阵要么单射要么奇异,因此矩阵的谱点只有点谱,而无穷维空间中线性算子的谱点可从不同角度分为点谱、剩余谱、连续谱、本质普、离散谱等.由于矩阵的谱结构和类型较算子少而且简单,所以刻画谱集合也相对容易,而线性算子的某些谱型涉及与值域和零空间等有关的诸多性质,相应刻画比较困难,甚至有时不能具体给出这些集合.鉴于此,本文以与线性算子谱的分布相关的问题为主题,围绕线性算子数值域在谱刻画问题中的重要作用和辛自伴无穷维Hamilton算子谱的对称性展开研究,为进一步研究线性算子的谱问题奠定了理论基础.无穷维Hamilton算子理论以及无穷维Hamilton系统中的一个重要问题就是刻画Hamilton算子特征函数系的完备性.而传统的完备性是以自伴算子的谱理论为基础的.但是,无穷维Hamilton算子一般是非自伴算子.20世纪末钟万勰院士将Hamilton系统引进弹性力学,推广了传统的分离变量法,将弹性力学问题的求解建立在Hamilton算子特征函数系的完备性的基础上.值得注意的是,Hamilton算子特征函数系的完备性和它的点谱关于虚轴的对称性密切相关.然而,一般情况下无穷维Hamilton算子的点谱不一定关于虚轴对称.为了解决这个问题我们研究了无穷维Hamilton算子的辛自伴性.研究并得到无穷维Hamilton算子的谱性质在刻画辛自伴问题中的重要地位,研究并得到一般无穷维Hamilton算子辛自伴的充分条件,以及某些特殊无穷维Hamilton算子辛自伴的充分必要条件.另一方面,点谱关于虚轴的对称性在证明无穷维Hamilton算子数值域的谱包含问题中也有非常重要的作用.由于数值域的谱包含关系,可以利用数值域和数值半径刻画有界线性算子谱的分布范围.但是,对于无界线性算子,谱包含关系成立当且仅当第一类剩余谱包含于数值域闭包.有界线性算子数值域的有界凸性在谱包含关系中也有非常重要的作用,但它不一定是闭集.后来,2013年,吴德玉等人在专着中指出,T是紧算子时,数值域闭的充要条件是零属于数值域.但是,对更一般的算子零何时属于数值域的问题还没有确切的结论.为此本文研究了零属于数值域的问题,得到了零属于数值域的充要条件,同时也对2003年P.Psarrakos等人提出的开问题做出了回答.注意到数值域半径关于算子的连续性,我们在Orlicz空间中研究了 Muntz有理逼近和倒数逼近问题,得到了相应的逼近误差估计式.多年来,随着线性算子局部谱理论研究的不断深入,出现了一些强有力的工具极大地丰富了算子谱结构的研究,例如利用解析函数定义的重要概念一单值扩张性.实际上,有很多算子都具有单值扩张性,如正规算子、谱算子、广义谱算子等.后来,有了局部化的单值扩张性的概念以后,可以在B-Fredholm算子、伪B-Fredholm算子与Drazin可逆算子、广义Drazin可逆算子之间建立起密切联系.本文除了对分块算子矩阵讨论具有单值扩张性的条件以外,还研究了广义Drazin可逆算子与伪B-Weyl算子之间的联系.同时也将2016年H.Zariouh与H.Zguitti没有完全解决的问题进行完善,并通过构造反例说明了 M.Berkani在其文章“Index of B-Fredholm operators and generalization of a Weyl theorem”中得到的Remark A（iii）的不合理性.

赵迎春^[2]（2018）在《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》文中提出本文主要围绕内部具有不连续性Sturm–Liouville算子展开研究.微分算子是线性算子中有着非常深刻应用背景的一类无界线性算子.数学物理及其它应用科学中许多问题都可归结为确定微分算子的特征值和特征函数以及将任意函数按特征函数展开成级数（或积分）的问题,其中很多实际问题,例如具有叠层的热传导问题、带有结点的弦振动问题、势函数是广义函数的微分算子等,都可以转化为内部具有不连续性的微分算子问题.广为被关注的“弹子动力系统”也可以从微分算子谱理论的角度来观察和研究,即:考虑一类与其相关的微分算子（带有无穷多个不连续点的微分算子）,在不连续点附加转移条件来刻画质点的碰撞运动.因此内部具有不连续性微分算子的研究受到很多本领域数学工作者的广泛关注.本文将围绕内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子以及内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子展开研究,并且把研究重点放在内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、自共轭扩张域刻画、谱的离散性,内部具有不连续性左定Sturm–Liouville算子的谱分析,内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数等方面的问题上.本文前半部分考虑了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子.首先,我们研究了此类算子的自共轭扩张描述问题.我们注意到:亏指数为无穷的对称微分算子需要无穷多个函数来描述其自共轭扩张域且这一组函数须满足“最大选取”条件.我们结合不连续点附加的转移条件给出了新的内积,建立了新的Hilbert空间,把问题放在这个新空间框架中去考虑,引入了新的概念,即与转移条件相关的最大算子max和最小算子min,证明了min在新建立的Hilbert空间中是具有有限亏指数的闭对称算子,且与max是相互共轭的,从而在新的空间框架下,很巧妙地将无穷亏指数问题转化成了有限亏指数问题,去掉了“最大选取”的限制.再利用微分方程的参数解,给出了min的所有自共轭扩张直接而完全的描述,进而讨论了最小算子min自共轭扩张的构造问题.在此基础上,我们进一步研究了某一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题.我们把问题放在一个与转移条件相关联的新空间框架中,给出了此类问题的亏指数取值范围,进一步给出了这类微分算子亏指数为（1,1）的充分条件,即系数函数,、不连续点及其转移条件的系数矩阵应满足的条件,讨论其下有界性,进而刻画了它的Friedrichs扩张.之后,我们利用算子分解方法给出了这类微分算子谱是离散的充分条件.本文后半部分考虑了内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子.首先,我们利用特征曲线和Krein空间中的线性算子谱理论研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题,证明了内部具有不连续性左定Sturm–Liouville问题的谱是实的、离散的、没有有限聚点、且上下无界,进一步讨论了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数问题,给出了若干判断其问题的非实特征值是否存在及其个数的充分条件.之后,我们进一步研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子,证明了其特征曲线的解析性质,讨论了此类微分算子的非实特征值个数问题,并给出了具体的两个例子.全文共分为六章:第一章为绪论部分,主要给出了本文所考虑问题的研究背景、研究意义及其国内外研究进展和本文主要研究结果及创新点;第二章简单介绍了本文中所涉及的一些基本概念和重要引理;第三章建立了与微分算子内部不连续性相关联的新内积空间,研究了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的自共轭扩张描述问题;第四章研究了一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题;第五章研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题;第六章研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值问题.

王国君^[3]（2015）在《不定度规空间上的某些算子的研究》文中指出微分算子理论是数学物理、量子力学和工程技术等学科的理论基础,为处理微分方程中的许多问题提供了理论框架和解决办法,具有深刻的理论意义和实际意义.本文研究了两类微分算子,一类是不定度规空间上的一类带有转移条件的二阶微分算子;另一类是某左定四阶微分算子.引言,简要地对微分算子理论的研究现状、研究目的以及研究意义进行了介绍.第一章,给出了本文所用到的一些基本理论、基础概念,例如:不定度规空间、微分算子、左定问题、右定问题等等.第二章,主要研究了定义在一个新的完备的不定度规空间上的带有转移条件的Sturm-Liouville问题,最终证明了算子在不定度规空间上的自共轭性.第三章,研究了一类左定四阶微分算子的特征值计算方法.主要将左定四阶微分算子问题转化为一类维数为四的右定微分算子问题,最终得出计算左定四阶微分算子特征值的方法.第四章,总结了本文的主要成果,由于本文研究的内容具有局限性,所以在最后列举了一些有待解决的问题.

王国君,高云兰,廉玉婷,郭慕瑶^[4]（2014）在《不定度规空间上的一类带有移条件的Sturm-Liouville问题的自共轭性》文中研究表明本文围绕不连续奇异微分算子的自共轭性进行研究,微分算子的自共轭性是线性算子理论中十分重要的问题.文章主要研究了定义在一个新的完备的不定度规空间下的带有转移条件的Sturm-Liouville问题,最终证明了算子在不定度规空间下的自共轭性。

赵迎春,孙炯^[5]（2011）在《带有谱参数边界条件且权函数变号的不连续Sturm-Liouville算子》文中指出研究了一类边界条件中含有谱参数且权函数变号的不连续Sturm-Liouville算子L.首先构造了一个与边值问题相关联的Krein空间K和新算子A使得所考虑的算子L与新算子A的特征值相同,证明了新算子A在Krein空间K中是自共轭的.进一步地,通过研究算子A的谱分布,得到了该边值问题有可数个实的特征值、它们是上下无界的,没有有限值的聚点,且能够被指标化应满足下列不等式……<λ-n<…<λ-2<λ-1<0<λ1<λ1<…<λ1<……最后给出了一个实例得到了特征值的分布情况

赵红霞^[6]（2011）在《带有转移条件的不定Sturm-Liouville算子》文中研究指明本文主要包括两个部分：第一部分主要研究了一类带有转移条件且权函数变号的Sturm-Liouville问题.即不定的Sturm-Liouville问题.我们发现：转移条件中系数行列式的比值θ/ρ的正负会对边值问题的研究方法产生影响.对于权函数变号且θ/ρ>0时的情形,问题需要在一个不定度规空间中去考虑.我们建立了一个与其相关联的Krein空间和新算子A,使得所考虑的边值问题的特征值与新算子A的特征值相同.进一步,构造了一个与K相关联的Hilbert空间H和在其上的自共轭算子S,利用Krein空问中自共轭算子的谱理论及算子S的谱性质,证明了算子A的特征值都是实的,从而得到所考虑边值问题的特征值都是实的；对于权函数变号且θ/ρ<0时的情形,我们可以在一个内积空间中,使用经典的方法去研究讨论,得到了这一类算子特征值的相关性质.第二部分主要研究了一类边界条件中含有谱参数且权函数和首项系数均变号的不连续Sturm-Liouville算子L.即由于权函数和首项系数均在变号而产生的“不定问题”.由于边界条件依赖于谱参数λ,由其确定的线性算子会随λ不同而不同.为此,我们构造了一个与边值问题相关联但不依赖于谱参数λ的Krein空问K和新算子A.进一步,我们用类似于第一部分θ/ρ>0时的研究方法对该边值问题进行了研究,证明了该边值问题的特征值都是实的.并从该算子本身出发研究其特征值问题,得到了λ是它的特征值的充要条件,进而构造了算子A的Green函数.

赵迎春,布仁满都拉^[7]（2010）在《不定度规空间内的一类微分算子的自共轭性》文中研究表明本文建立了一个完备的不定度规空间,并在其上研究了一类带有转移边界条件且权函数变号的Sturm-Liou-ville算子T,证明了算子T在完备的不定度规空间K中是自共轭的.

张澜^[8]（2010）在《缺项算子矩阵的补和无穷维Hamilton算子的谱》文中研究指明线性算子的点谱和剩余谱之间有一定关系,将点谱和剩余谱进行细分,能使我们更详细、更透彻地了解线性算子谱的性质,所以点谱被分为两类,本文记作σpa（·）和σpb（·）.但是在研究缺项算子矩阵谱补问题的过程中,发现有必要将剩余谱及这两类点谱进一步细分,我们将剩余谱分为两类,记作σ（·）和σr2（·）,同时将σpa（·）分为两类,记作σp1（·）和σp2（·）,将σpb（·）分为两类,记作σp3（·）和σp4（·）,这时点谱被分为四类.本学位论文主要考虑了有界缺项算子的各类点谱和两类剩余谱等一些类型谱的谱补问题和无穷维Hamilton算子的四类点谱和两类剩余谱等谱的性质以及上三角型无穷维Hamilton缺项算子的谱补问题.主要结果如下：首先,研究了2×2阶上三角型缺项算子矩阵的谱补问题.设H和K是Hilbert空间, B（H,K）表示从H到K的所有有界线性算子组成的集合,简记B（H,H）为B（H）.设A∈B（H）, B∈B（K）为给定,定义2×2阶上三角型缺项算子矩阵MC=（?）本文描述了集合其中t∈{pa,pb,p1,p2,p3,p4,r1,r2}刻画了Mc的四类点谱σp1（·）、σp2（·）σp3（·）、σp4（·）及左（右）Weyl谱、Weyl谱的可能谱集.然后,考虑3×3阶上三角型缺项算子矩阵的谱补问题.分别给出3×3阶上三角型缺项算子矩阵的亏谱、近似点谱和Moore-Penrose谱的扰动结果.其次,考虑了杜鸿科教授在1994年提出的“问题3”.在比较Mc的谱扰动和可能谱的基础上，得到满足“问题3”的所有线性算子C组成集合的描述,为公开问题的彻底解决开阔了思路,奠定了一定的基础.最后,研究了无穷维Hamilton算子的谱及上三角型无穷维Hamilton缺项算子的谱补问题.无穷维Hamilton算子是一类特殊的非自伴算子矩阵,对其研究有着重要的理论价值和应用价值.无穷维Hamilton算子的谱理论是深入研究尤穷维Hamilton系统的重要途经,因此研究了无穷维Hamilton算子的各类点谱和两类剩余谱的性质,进一步了解了无穷维Hamilton算子的谱的分布特点.上三角型无穷维Hamilton算子作为算子矩阵,也有谱补问题,但由于其结构特点,对各分块算子有一定限制,所以其谱补问题的研究有一定的难度.利用已有的2×2阶上三角型缺项算子的谱补的结果,给出对角定义的上三角型无穷维Hamilton缺项算子的四类点谱和两类剩余谱等谱的谱补范围,并得到上三角型无穷维Hamilton缺项算子的σp1（.）和σr1（·）的扰动.另外,还考虑了特殊类型的无穷维Hamilton算子谱的结构.

贺衎^[9]（2010）在《保零积映射的刻画及其应用》文中研究指明算子理论与算子代数近几十年来的发展表明,对算子代数上保持某些同构不变量的映射的刻画和分类问题研究有助于加深人们对算子代数结构的了解（[1]）.这些不变量包括算子间的关系,算子的集合和函数等.由于零积关系是代数中广泛存在的基本重要的关系,对于保持算子零积关系的映射的刻画问题尤被人们关注,成为被广泛深入研究的课题之一.设（?）是算子的某种乘积.算子A,B间具有零积关系,即满足乘积A（?）B等于零.算子代数上的映射Φ满足A（?） B=0（?）Φ（A）（?）Φ（B）=0,则称映射Φ（双边）保零积.对于算子代数上保零积映射刻画问题的研究成果不仅揭示了算子代数的某些固有的结构性质,而且也被广泛的应用于其他研究领域.本文研究某些算子代数或算子集合上双边保零积非线性映射的刻画问题,及其在其他相关领域,特别是量子物理学中的应用.下面是本文的主要结果.1.系统地讨论了几类算子集合上双边保零积的非线性映射的结构特征和刻画问题.设X,H分别是实或复数域F上的Banach空间或Hilbert空间,其维数均大于等于3.ω,ν（?）B（X）或者B（H）,映射Φ:ω→ν满足A（?） B=0（?）Φ（A）（?）Φ（B）=0对所有A,B∈ω成立.我们分别在下列几种情形给出了上述映射在秩一算子上的形式：（1）ω,ν（?）B（x）为包含秩一幂等元的算子集合,垂是满射且A（?）B=AB;（2）ω,ν为H上包含秩一投影的自伴算子集合,Φ是满射且A（?）B=AB;（3）w,ν（?）B（H）为包含秩一投影的自伴算子集合,Φ是双射且A（?）B=AB+和A+B或者A（?）B=AB+A（设J∈B（H）是可逆自伴算子,A+=J-1A*J）；（4）ω=ν=Cp（H）,Φ是实线性满射且取A（?）B=0为A*B=AB*=0; （5） W, V（?）B（H）为包含秩一投影的正算子集合,中是双射且取AoB=ATB（这里T是任意给定的正可逆算子）.2.利用上述对算子集合上双边保零积映射的刻画结果,我们给出了相应算子集合上保相应乘积数值半径或交叉范数映射的完全刻画.3.利用算子集合上双边保正交性映射的刻画结果,我们得到了Schatten-p类算子空间上的保距映射和完全保距映射的刻画,以及套代数中Schatten-p类算子上保距映射的完全刻画.4.利用包含秩一投影的正算子集合上双边保算子广义正交性映射的刻画结果,给出了量子力学基本定理之一Wigner定理的一类推广.5.利用包含秩一投影的正算子集合上双边保算子正交性映射的刻画结果,给出了Hilbert空间效应代数上一般的序列同构的刻画.设H是复Hilbert空间,dimH≥2,令运算*是Hilbert空间效应代数ε（H）上的任一序列乘积,双射Φ:ε（H）→ε（H）是序列同构,即满足Φ（A*B）=Φ（A）*Φ（B）对所有A,B∈ε（H）都成立,则存在酉或反酉算子U使得Φ（A）=UAU*对所有A∈ε（H）都成立.

海国君^[10]（2010）在《算子矩阵的补问题和谱》文中提出算子矩阵是近年来算子理论中最为活跃的研究课题之一,其研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支,如矩阵理论、优化理论和量子物理等等.本学位论文主要考虑算子矩阵的补问题和谱,内容包括算子矩阵的谱补问题、Fredholm补问题和可逆补问题以及非自伴算子矩阵的谱结构等方面.用H1和H2表示Hilbert空间,召（Hi,Hj）表示从Hi到Hj的所有有界线性算子构成的Banach空间且简记为B（Hi,Hi）＝B（Hi）,i,j＝1,2.本文的主要结论如下：首先,研究了缺项算子矩阵（?）的Moore-Penrose谱补问题.对给定的算子A∈B（H1）和B∈B（H2）,刻画了下面的集合其中σM（·）表示Moore-Penrose谱.其次,讨论了缺项算子矩阵（?）的右（左）Fredholm补问题和右（左）可逆补问题.对给定的算子A∈B（H1）、B∈B（H2）和C∈B（H2,H1）,分别得到了存在X∈B（H1,H2）使得算子矩阵为右（左）Fredholm算子和右（左）可逆算子的充分必要条件.然后,考虑了缺项算子矩阵（?）的Fredholm补问题和可逆补问题.对给定的算子A∈B（H1）和C∈B（H2,H1）,分别给出存在X∈B（H1,H2）和Y∈B（H2）使得算子矩阵为右（左）Fredholm算子、右（左）可逆算子、Fredholm算子和可逆算子的充分必要条件.最后,研究了某类非自伴算子矩阵的谱结构,作为推论得到了无穷维Hamilton算子和J-自伴算子矩阵的相关性质.一般情况下,无穷维Hamilton算子是一类特殊的非自伴算子矩阵,其研究有着重要的理论价值和应用价值.因此,还考虑了斜对角型无穷维Hamilton算子的近似点谱和上三角型无穷维Hamilton算子的本质谱,给出无穷维Hamilton算子的近似点谱（或本质谱）和其元素算子的近似点谱（或本质谱）之间的关系.

二、不定度规空间内的一类算子的谱（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、不定度规空间内的一类算子的谱（论文提纲范文）

（1）线性算子谱的相关问题研究（论文提纲范文）

（2）内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究（论文提纲范文）

（3）不定度规空间上的某些算子的研究（论文提纲范文）

（4）不定度规空间上的一类带有移条件的Sturm-Liouville问题的自共轭性（论文提纲范文）

（5）带有谱参数边界条件且权函数变号的不连续Sturm-Liouville算子（论文提纲范文）

（6）带有转移条件的不定Sturm-Liouville算子（论文提纲范文）

（8）缺项算子矩阵的补和无穷维Hamilton算子的谱（论文提纲范文）

（9）保零积映射的刻画及其应用（论文提纲范文）

（10）算子矩阵的补问题和谱（论文提纲范文）

四、不定度规空间内的一类算子的谱（论文参考文献）

• [1]线性算子谱的相关问题研究[D]. 吴晓红. 内蒙古大学, 2020(01)
• [2]内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究[D]. 赵迎春. 内蒙古大学, 2018(02)
• [3]不定度规空间上的某些算子的研究[D]. 王国君. 内蒙古工业大学, 2015(02)
• [4]不定度规空间上的一类带有移条件的Sturm-Liouville问题的自共轭性[J]. 王国君,高云兰,廉玉婷,郭慕瑶. 内蒙古工业大学学报(自然科学版), 2014(04)
• [5]带有谱参数边界条件且权函数变号的不连续Sturm-Liouville算子[J]. 赵迎春,孙炯. 系统科学与数学, 2011(05)
• [6]带有转移条件的不定Sturm-Liouville算子[D]. 赵红霞. 内蒙古大学, 2011(10)
• [7]不定度规空间内的一类微分算子的自共轭性[J]. 赵迎春,布仁满都拉. 赤峰学院学报(自然科学版), 2010(11)
• [8]缺项算子矩阵的补和无穷维Hamilton算子的谱[D]. 张澜. 内蒙古大学, 2010(10)
• [9]保零积映射的刻画及其应用[D]. 贺衎. 山西大学, 2010(11)
• [10]算子矩阵的补问题和谱[D]. 海国君. 内蒙古大学, 2010(10)

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