一、一种多元有理插值逼近（论文文献综述）
孙思梦[1]（2020）在《关于连分式插值方法的若干研究》文中研究说明目前,在科学技术和自然领域中,仍然存在着大量亟待解决的非线性问题。逼近问题中的参数形式一般是各种形式的参数,但是由于非线性问题非常普遍,就很难归结为一般的理论,这些非线性问题现在依然是科学技术领域研究的重点。作为计算科学中最有力的数值算法之一,插值法在非线性问题的解决中起到了至关重要作用。它的目的是构造出一个有连续定义的新函数,使新的函数与被插值的函数在给定点的值上完全一致。其中,多项式插值是最先被提出的插值方法,被广泛应用于在方程,微分积分方程数值等求解的过程中,它的优点是形式简单,便于计算,是插值逼近算法的基础形式。但是高次的多项式插值存在着震荡现象,具有看局限性,因此对于有理插值的研究就成为了解决非线性问题的重点。有理插值算法虽然在形式上比多项式插值复杂很多,但是近视精度更高,在逼近的速度上具有明显的优势。有理函数插值因有着灵活性好和逼近精度高等优点,成为目前非线性问题解决方法的研究热点之一,并被广泛应用于近似逼近和科学研究等方面。构造有理插值函数的方式有多种,连分式插值算法作为有理插值的尤为重要一员,一直是不可或缺的角色。连分式插值本身具有较强的递推性,便于计算有理函数插值中需要的系数。本文以前人研究的连分式插值方法理论为基础,结合当下研究现状,对连分式插值方法及其扩展算法进行了深度研究,内容主要包括三大模块:预给极点的二元向量分叉连分式算法,预给极点的二元向量连分式插值算法,以及保渐近线的扩展连分式插值算法等等。现将本文中的主要研究内容归纳如下三个部分:第一部分主要是在连分式插值算法的一般理论基础上,延伸出预给极点的向量连分式插值,通过给定插值点阵的极点信息,对点阵进行行和列的初等变换,计算出相应的元素代替,构造出新的分叉连分式,并且给出数值例子,说明新方法的有效性。第二部分通过在散乱点集上构造出二元系数算法,使之具有具有继承性,构造出了连分式插值的二元向量形式,给出了一种预给极点的二元向量连分式插值算法。根据给定的被插值函数的极点信息,构造出插值函数分母多项式中的一个因式,然后通过对原有的每个插值节点的向量值都乘以一个固定的数的方法,使其构造成一个无预给极点的二元向量插值问题,再通过向量的Samelson逆构造出一个二元非张量积型向量连分式插值,再除以这一确定的函数,最后就得到了一个预给极点的二元向量连分式插值。此方法具有预给极点而且原本的重数保持不变。第三部分通过给出三项递推公式和特征定理,从而推导出分子、分母的次数和有理函数各阶间的递推关系,通过给定的具有水平渐近线或斜渐近线的函数,给出一种保渐近线的扩展连分式算法,使给出的连分式插值更加准确,趋于渐近线。方法是通过在原节点数的基础上再加一个函数节点,利用渐近线所得出的极限,计算出节点的函数值,则能使给出的这个插值节点更加准确,利用这个新的插值节点及原有的函数节点构造出一个新的连分式插值函数,从而能够很好地逼近渐近线。通过数值例子分析传统连分式插值和新的连分式插值两类算法的逼近效果,将它们的误差进行对比,说明了扩展保渐近线的连分式算法的有效性。图[10]表[6]参[48]
郑锴[2]（2020）在《实验点集代数插值的可信验证算法》文中研究说明科技的迅猛发展提高了对计算结果的准确性要求,原始数据误差、实数的有限精度表示、误差积累等问题使得计算不准确性无处不在.在飞机设计、卫星定轨、火箭发射等高风险的应用领域必须知道数值计算结果可信的误差上界.对于关键的问题,微小计算误差的积累可能会导致计算结果发生质变,进而可能引发重大事故.如何保证计算过程误差可控、结果真实可信是科学计算亟待解决的问题.在工程计算中,点集大多是从实验中获得,点的坐标不可避免存在误差,这种点的坐标在一定范围内的点集,称之为实验点集.实验点集的近似代数插值由于其能体现工程实践的需要,一直备受国内外学者们的关心.本文正是利用Rump区间算法和Kantorovich定理设计近似代数插值的可信验证算法.主要研究内容如下:（1）设计实验点集上的多元多项式插值的误差可控算法.给定实验点集,设计算法输出一个低次多项式,给定实验点集的容许点集及其可信误差界.算法的数值部分计算一个阶理想及一个容许点集,该阶理想所对应的多项式在容许点集上近似取值为零.算法的验证部分将一个多变元的多项式方程组解的验证转化为多个单变量方程解的验证.利用Kantorovich定理和Rump区间定理,计算数值部分得到的容许点集的可信误差界.算法保证,在输出的容许点集的可信误差界范围内存在另一容许点集,输出的低次多项式在该容许点集上精确消逝.（2）设计一元实验点集的重心坐标有理插值的误差可控算法.算法利用广义Vandermonde矩阵,重心坐标有理插值,并结合区间算法工具箱和Kantorovich定理、Rump区间定理来计算系数为区间向量的重心坐标有理插值函数,容许区间点集及其可信误差界.算法保证在区间点集的可信误差界范围内存在一点集,在输出的区间重心坐标有理函数中存在一重心坐标有理插值函数,该有理插值函数在上述点集上满足插值条件.
潘秋玲[3]（2020）在《多元数据变换逼近算法及应用研究》文中研究表明Haar定理指出多元函数插值的可解性与结点组之间的关系,关于多元函数插值问题中的结点组与函数应用的选择问题,引入添加变换的方法,进而提出数据变换逼近思想:从给定插值结点组出发结合所要解决的实际问题,构造适当的数据变换,克服传统逼近方法的局限性,使得一些复杂问题可解并简化。在这一思想的指导下,针对复杂几何形体最优外部中轴及医学中的应用问题,提出分叉定位算法。主要研究工作共包括三部分:第一部分是关于函数的逼近误差分析问题,主要就经典的函数型插值方法的误差分析进行研究。截断误差估计是数值逼近中十分重要的研究课题,关系到逼近方法的收敛性及精度的刻画。在这一部分主要应用积分中值定理、Rolle定理和构造一些特殊不等式,针对插值余项定理、Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段线性插值和三次样条插值的误差计算公式给予简单证明。第二部分是关于最优外部中轴提取算法的研究。首先采用K-means聚类对搜索空间进行优化,排除冗余计算,有效整理了搜索空间,降低了粒子陷入局部极值的可能性。然后在得到的搜索空间采用粒子群优化算法,通过聚类中心距离计算权重,初始化生成粒子群,进一步提高算法的搜索效率。最后使用了一种新的惯性权重自适应方法（NAIW）对粒子的惯性权重进行动态调整,提高了粒子群的全局搜索能力。实验结果表明,本算法克服了最优外部中轴遍历搜索效率低下的问题,相较于遍历搜索算法,其平均最大加速比为1288.67%,且算法鲁棒性强。第三部分提出了一种特殊的算法—分叉定位算法,并将该算法应用到医学领域。首先根据已知数据集,通过3D Slicer软件完成模型的三维重建,并提取所关注的特定区域。然后根据提出的最优外部中轴提取方法和分叉定位算法,实现微创颅内血肿消除术中最佳穿刺点的精准定位和术前路径规划方案的制定,最后将患者脑部及内部病变区域与术中相关设备融合成三维图像,对医生进行穿刺手术有一定的指导意义和价值,对提高手术成功率具有重要的意义。图16幅;表4个;参63篇。
胡枫[4]（2019）在《关于Michalik连分式若干问题的研究》文中研究指明插值法作为科学工程计算中有力的数值方法之一,是利用某些离散点的坐标,去构造一个有连续定义的函数,使得它与被插值的函数在给定点对应的值完全一致。其中多项式插值作为整个数值逼近的基础,它形式简单,便于计算,被广泛应用于方程求根,微分积分方程数值求解的过程中,但由于高次多项式插值的振荡现象限制了它的发展,因此对于有理插值的研究显得尤为重要,有理插值虽然形式比多项式复杂,但近似精度更高,在逼近速度上具有显着的优势,Thiele连分式作为有理插值的重要成员,一直扮演着不可或缺的角色,但由于Thiele连分式容易出现极点,并且基于Thiele连分式理论的二元分叉连分式算法适用于矩形网格数据,无法有效的应对散乱数据插值问题,鉴于此,本文进行了关于Michalik连分式插值方法及其相关问题的研究,其主要包括二元Michlik连分式插值算法,预给极点的二元Michalik连分式插值,基于散乱数据预给极点的两类二元有理插值的对比研究,基于Michalik连分式的重心有理混合插值方法等等。现将本文中的工作内容主要归纳如下:在Michalik连分式理论的基础上,通过在散乱点集上构造具有继承性的二元系数算法,研究了 Michalik连分式的二元形式,同时给出三项递推公式和特征定理,分别用于讨论有理函数各阶间的递推关系和估计分子、分母的次数,为了解决传统连分式插值中不可达点的问题,将插值节点顺序进行重排和设计辅助函数,提出了二元Michalik连分式不可达点的修正处理方法,充分说明了 Michalik连分式作为一种将函数展开成连分式的方法适用于多变量的函数,该二元Michalik连分式插值形式简单,易于编程,数值实例显示文中构造的二元Michalik插值具有较好的逼近效果;在已知了被插值函数极点信息的条件下,引入带极点的基函数,将原函数值乘上一个确定的数,运用二元Michalik连分式建立无极点的插值函数,最后通过除以基函数得到预给极点的二元Michalik连分式插值,该方法在保持原有极点位置的同时,还维持了原来的重数。在文中更进一步讨论了在散乱点集上分别由逐步对角有理插值和非张量积连分式插值算法建立的预给极点二元有理插值,通过数值例子比较分析两类插值算法的逼近效果;将传统的重心有理插值与Michalik连分式进行混合,选定合理的权函数,在各个插值节点处将两类插值算法进行混合,分别得到了一元和二元Michalik重心混合有理插值格式,该插值具有无极点和不可达点的优点,数值实验也表明了混合后得到的插值函数具有较好的近似效果。图[16]表[6]参[48]
王鹏霄[5]（2019）在《有关层次网格上的样条方法的研究》文中指出在数值逼近,几何造型,工程计算等领域中,样条是一种普遍适用的方法.这些领域的研究给多元样条方法的理论提出了新的问题.例如,对标准的NURBS方法引入局部修改算法以突破矩形网格的限制,完善新提出的T网格上的样条方法的理论基础,并进一步扩展和完善不规则网格剖分下的可局部加细的样条方法.对这些问题的分析并结合多元样条的方法,我们发现基于层次网格的自适应加细的样条方法具有很好的适用性并能得到满意的曲面拟合结果.与之相关的多元样条理论研究的主要问题和难点在于分析样条空间维数的奇异性和具有局部支集的基函数的构造.本文将从样条空间的维数,尤其是维数奇异性情况,显式维数公式,基函数构造,样条插值等问题入手,对可以局部加细的矩形网格和任意四边形网格上的样条的理论展开系统的研究.并基于这些理论成果,研究其在数值逼近、曲面造型中的应用.着重讨论和解决矩形网格和任意四边形网格上的自适应局部细分的样条曲面拟合问题.逐步形成基于层次网格细分的样条方法.具体工作主要包括以下几个方面:1.维数是样条空间研究中的一个基本且困难的问题,研究了带嵌套T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性问题,修正了带嵌套T圈的T网格上样条空间维数公式,并且给出了一个并行T圈的T网格上网格结构退化的例子.2.提出一种基于层次T网格的S（3,3,1,1,Υ）多项式样条空间的曲面重构算法.该算法由任意层次T网格上每个小矩形单元对应4个节点上的16个参数的孔斯曲面插值形式给出.在散乱数据点的曲面拟合应用中,我们还给出了该曲面的自适应加细算法.数值算例显示,该算法能够有效的拟合散乱数据点.3.提出了一种基于局部加密的层次四边形网格上的3次样条空间的曲面重构算法.该算法由任意层次四边形网格上插值于每个小四边形单元对应4个节点处12个参数的3次样条曲面形式给出.通过该四边形网格上12参数的3次样条函数,使得曲面表达十分简单.与此同时,我们也给出了基于散乱数据点的自适应曲面加细算法.数值算例显示,该算法能够有效的拟合散乱数据点.
张晓龙[6]（2019）在《解析逼近方法和谱方法中几类问题研究》文中提出在工程和科学计算中,微分方程占据着非常重要的地位。但令人遗憾的是对于大部分非线性微分方程目前没法得到其精确解,即使对于某些线性微分方程也没法得到其精确解。因而微分方程的逼近解受到了科研人员广泛关注。目前逼近方法主要可以分为两类:解析逼近方法和数值逼近方法。在解析逼近方法中本文主要研究了 Adomian分解法（ADM）、带有收敛加速参数的解析逼近方法（AMP）和同伦分析方法（HAM）。在数值逼近方法中本文主要研究谱方法。这两类方法虽然表面上看似没有联系,其实它们都是求解级数解的方法。本文主要围绕级数解的收敛性、误差估计及计算效率展开研究。主要成果如下:1.给出了 Adomian分解法的算法机理,证明了 Adomian分解法可以由一般的Lya-punov’s人工小参数法得到。2.提出了一种求解非线性问题的新算法——带有收敛加速参数c的解析逼近方法（AMP）,这个收敛加速参数c用于调节所得到的级数解的收敛速度和收敛区间。在此基础上,本文进一步提供了求解最优加速收敛参数c的具体方法。与ADM相比,当收敛参数取最优值时AMP所得到的级数解的收敛速度和收敛区间大大增大。同时,本文也证明了 Adomian分解法为AMP方法的一种特殊情况,即当收敛加速参数c=1的情形。3.对含有Lidstone边界条件的2n（n ∈ N+）阶线性微分方程和非线性微分方程,分别给出这两类微分方程同伦级数解的误差估计。为了分析误差,首先给出含有Lid-stone 边界条件的线性微分方程和非线性微分方程解的存在唯一性条件。4.给出了半无限区域上有理Chebyshev谱方法实现加速收敛的途径:二次映射z =Z + ∈Z2和Sinh映射z =1/Lsinh（LZ）,并且比较了恒等映射、二次映射和Sinh映射所得到解的收敛速度。当求解奇异微分方程时,二次映射所得解的收敛速度大于恒等映射所得解的收敛速度,Sinh映射所得解的收敛速度大于二次映射所得解的收敛速度。从渐近和数值角度,利用三种映射变换下的有理Chebyshev谱方法分析了半无限区间上奇异微分方程:Thomas-Fermi方程。5.首先定义了谱系数的有界包络函数和最优截断,然后给出了最优截断的判断定理,最后分析了几类多元Chebyshev和Fourier级数的最优截断。Chebyshev和Fourier谱方法之所以可以用于求解高维空间问题是由于它们结合使用了 Smolyak网格点和双曲交叉截断。双曲截断的最优情形是函数为“Crossy”函数,但是什么样的函数是“Crossy”函数呢?虽然目前仍不能给出准确的回答,但是结合低秩的SVD分解、Poisson和定理、周期函数和双曲坐标对其进行了分析。对于秩为一且边界或者区域内部含有弱奇点的函数,双曲交叉截断确实为最优的,此时函数的谱系数为代数收敛。
荆科[7]（2017）在《基于重心权有理插值函数的预测模型研究》文中研究指明预测是根据历史及现在的信息,利用科学方法及手段,对未来发展做出判断。预测作为决策科学化表现的前提,长期以来受到学界的广泛关注,在经济管理、信息技术及能源环境等领域具有重要的理论意义和实践价值。预测建模的本质很大程度上可以归结为函数逼近和曲线拟合问题。尽管传统的逼近方法如多项式、样条等在预测模型中已取得丰硕的成果,但仍需要不断开发新的预测方法,以适应日益复杂化、多样化的数据环境要求。重心权有理插值函数作为一类重要的逼近工具,其主要研究工作集中在理论性质的深化,而在实际问题中的应用亟待进一步探讨。鉴于此,本文从新的视角出发,基于重心权有理插值函数对传统的预测理论和方法开展研究,以期为预测建模提供新途径、为科学决策提供新方法。本文选取“基于重心权有理插值函数的预测模型研究”这一主题,综合应用管理学、计算数学、经济学和统计学等学科知识,采取理论分析与实验研究相结合的方法,从以下两方面开展:一是在理论分析方面,对传统的重心权有理插值函数进行推广,并证明其在收敛性能等方面的优越性,为构建新的预测模型提供扎实的理论基础;二是在预测建模方面,以几类经典的预测模型为研究对象,如模式识别领域的支持向量机（SVM）分类预测模型、统计回归领域的非参数回归和半参数回归预测模型、“贫信息”的灰色预测模型等,基于重心权有理插值函数构造新的预测建模方法,并应用于实际问题研究。本文的主要工作和创新点如下:（1）理论上,推广了重心权有理插值函数,并证明其具有以下优良性质:第一,满足二阶导数插值条件;第二,在实数范围内无极点;第三,无论插值节点如何分布,在任意插值区间,插值函数及其一阶、二阶导函数均具有高阶收敛性质;第四,函数可以写成重心权形式。最后,数值实验表明,推广后的重心权有理插值函数的收敛阶数至少是传统重心权有理插值及三次样条插值函数的三倍以上。（2）基于重心权有理插值函数,从函数逼近角度及核函数性质出发,构造了一种新的SVM模型的核函数（BRI）,从理论上证明此核函数能获得较好的学习能力和泛化能力。数值实验表明,基于重心权有理插值函数的SVM模型不仅具有较高的分类精度,而且能够改善传统核函数对数据分布的依赖性。（3）基于重心权有理插值函数,提出了一种新的非参数回归预测模型,并给出一整套建模过程,包括基函数的构造、参数估计、诊断检验、节点选择、模型预测等。与传统的样条函数方法相比,提出的模型具有以下优势:拟合的曲线光滑性更好、模型计算复杂度较低、参数估计存在明确的含义。最后,将该模型应用于上海证券交易所交易的国债利率期限结构研究,结果显示:该模型在结构分析、计算复杂度、预测能力及经济内涵等方面均优于传统模型,能够有效提高国债利率期限结构拟合与定价的准确性。（4）基于重心权有理插值函数,构建了一种新的半参数回归预测模型,并给出了数学表示、参数估计与检验、模型选择与模型预测等建模技术。该模型拟合的曲线光滑度较高且具有明确的解析式;在选取相同节点的条件下,待估计参数的个数更少且富含实际意义,从而得到比传统样条函数方法更为深刻的结果。最后,将该模型应用于我国菲利普斯曲线研究,并在此基础上对通货膨胀率进行预测,结果显示,该模型不仅能够充分发掘我国菲利普斯曲线的非线性特征,而且有效提高了通胀率预测的精准度。（5）在灰色预测建模方面,首先,分别利用数乘变换和正交变换有效改善了 GM（1,1）模型的病态性问题。其次,基于重心权有理插值函数,构造一种新的GM（1,1）模型,其主要优势体现在:提高背景值重构的质量;优化了模型初始条件及参数。最后,基于向量值重心权有理插值函数,给出多变量MGM（1,m）模型背景值构造的新方法,在减小计算量的同时提升了模型的预测性能。实验研究表明,以上方法充分改善了模型的稳定性与适用性,有效提高了模型的预测精度。本文成果扩展了传统预测模型的研究思路,丰富了传统预测模型建模的方法体系,对改善和提高传统预测模型的建模效率具有重要的理论价值和实际意义。
许明明[8]（2016）在《仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质》文中研究说明重心有理插值具有计算量小和数值稳定性好等优点,成为逼近领域新的研究热点.鉴于插值节点的选择对插值函数的逼近性质具有重要影响,本文构造了一类新的插值节点——仿射节点,并对仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质展开研究.取得的主要研究成果如下：首先,在不同插值节点上用同一种函数进行插值时会产生不同的插值效果,因此选择何种插值节点,使得重心有理插值取得尽可能好的逼近效果是关键问题.本文在分析总结几类已有节点的结构、性质的基础上,构造了一类全新的插值节点——仿射节点,给出了仿射节点的一系列性质,例如仿射性、对称性,以及当伸缩因子q取不同值时的疏密性等,并借助图像直观地显示了仿射节点良好的性质,为下文仿射节点上Berrut有理插值的研究奠定了基础.进一步,我们研究了仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质.逼近性质一般从逼近阶和Lebesgue常数来衡量,本文主要从Lebesgue常数角度来研究仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质.基于重要不等式、莱布尼兹级数和调和级数部分和等理论,证明了仿射节点上Berrut有理插值的Lebesgue常数的上下界,可知当以仿射节点作为插值节点时,其上的Berrut有理插值的Lebesgue常数关于n呈对数增长,说明了仿射节点上Berrut有理插值有很好的数值稳定性.应用MATLAB软件进行了大量的数值实验,给出了当选择不同的n以及q得到的仿射节点上Berrut有理插值的Lebesgue函数和Lebesgue常数效果图,同时也将本文仿射节点上的Berrut有理插值的效果图与已有节点（等距节点、第一类切比雪夫点、第二类切比雪夫点等）上的Berrut有理插值的效果图进行了对比.验证了仿射节点上的Berrut有理插值良好的逼近性质.
郭兵[9]（2015）在《Sinc函数的非线性逼近及其应用》文中进行了进一步梳理Shannon采样定理为信号通信和图像处理奠定了严格的理论基础.根据Shannon采样公式,有限带宽信号可以被精确的恢复.Sinc函数是Shannon采样公式中的插值核.同时Sinc函数还被看作是一个理想的低通滤波器.在信号的实际恢复过程中,通常只涉及到Shannon采样公式中的有限项求和,因此就会产生一个截断误差.如果要得到一个合适的截断误差,就需要很多项求和,因而就带来了很大的计算量.另外,大多数信号都不是严格意义上的有限带宽信号,此时若仍把Sinc函数看作是理想的插值核,则缺乏一个合理的解释.为了解决这些问题,人们便开始从两方面对Shannon采样公式的有限项求和进行改进.一方面,构造一个合适的函数将其加入到Shannon采样公式的有限项求和中,来减小截断误差,此时构造的函数被称为收敛因子；另一方面,构造一个具有紧支集的函数,同时该函数需要满足Sinc函数的一些性质.最后在S hannon采样公式的有限项求和中,用构造的函数来代替Sinc函数.本文将从这两方面来考虑Sinc函数的逼近问题.另外,我们将再次论证当线性多步法达到最高逼近阶时,该差分格式是不稳定的.本文分为五章,具体安排如下：1.第一章,我们介绍了Sinc函数、样条函数、Pade逼近和代数函数逼近的相关内容及研究情况.2.第二章,通过研究Sinc函数的Pade逼近,我们给出了Sinc函数的[2/4]型Pade逼近.然后把[2/4]型Pade逼近看作是一个收敛因子,将其加入到Shannon采样公式的有限项求和中.最后和已有的收敛因子进行了数值实验比较,将[2/4]型Pade逼近作为收敛因子的有限项求和也能得到很好的精度.3.第三章,我们给出了Sinc函数的[2/6]型、[0/2]型、[0/4]型和[0/6]型Pade逼近.然后将[2/6]型Pade逼近和另外三类Pade逼近以及第二章中的三类收敛因子进行数值实验比较,[2/6]型Pade逼近作为收敛因子能得到很好的精度.4.第四章,基于3/1型有理样条函数已有的研究,我们研究了Sinc函数的3/1型有理样条函数逼近,并得到了一类含参数的3/1型有理样条函数.通过分析它的频谱在原点处的泰勒展开式,我们得到：当参数值取2时,该3/1型有理样条函数在低频处有平坦谱.另外,还给出了参数的其它几种合理的取值.最后与已有的几种方法通过图像处理进行比较,我们的方法也能得到很好的图像处理效果.5.第五章,我们从指数函数的代数函数逼近角度,研究了指数函数的[1,n]级代数函数逼近以及与线性多步法的联系.最后我们给出了一个新的证明：当线性多步法达到最高逼近阶时,其差分格式是不稳定的.
陈艳秋[10]（2013）在《多元有理插值方法的研究》文中研究指明本文主要研究了二元有理插值问题,我们知道,代数插值可以通过函数在一些点处的值来估算函数在其它点处的值通过构造与这个函数相近的多项式或有理函数.多项式插值有简单的结构,并且运算方便,因此多项式插值在方程求根、数值微分、数值积分等方面都有广泛的应用。但是,当解决非线性特征模型时,用多项式插值就会遇到麻烦,为了处理这些非线性问题,引入了有理插值。用有理插值近似表示函数时,比多项式灵活有效,并且能在极点附近取得很好的效果.因此,对有理插值问题的研究是非常必要的,特别是多元有理插值问题。对多元有理插值问题中的二元插值问题,本文学习借鉴已取得的研究成果,给出了几种新的二元有理插值格式：基于Barycentric有理插值并且结合Newton型多项式插值构造了矩形网格上的Barycentric-Newton型二元有理插值,新的混合有理插值继承了重心有理插值的计算量小、没有极点、数值稳定性好和多项式插值的线性性质等优点,通过数值例子验证了所给插值方法的有效性,没有极点及数值稳定性较好等优点；基于Stieltijes型分叉连分式有理插值,结合Thiele型有理插值及Newton多项式,构造了方形网格上Stieltijes型二元混合有理插值函数,通过定义偏差商、偏逆差商和混合逆差商建立递推算法,对所给算法进行了误差分析；从Lagrange插值多项式出发,结合Stieltijes型连分式在三角网格上构造了Lagrange-Stieltijes型有理插值函数,通过定义混合逆差商,建立递推算法,所构造的有理插值函数满足有理插值问题中所给的全部插值条件,同时给出了这种插值算法的特征定理及其证明。
二、一种多元有理插值逼近（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一种多元有理插值逼近（论文提纲范文）
（1）关于连分式插值方法的若干研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 有理函数插值的一般算法和研究现状 |
| 1.2.1 有理插值的一般算法 |
| 1.2.2 有理插值的研究现状 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 2 连分式插值 |
| 2.1 连分式插值的基本内容 |
| 2.2 连分式插值的主要特征 |
| 2.3 连分式插值的计算方法 |
| 3 预给极点的向量连分式插值算法的研究 |
| 3.1 预给极点的向量分叉连分式算法 |
| 3.1.1 向量连分式插值 |
| 3.1.2 预给极点的向量分叉连分式的算法 |
| 3.1.3 数值例子 |
| 3.2 预给极点的二元向量连分式插值 |
| 3.2.1 向量的广义逆 |
| 3.2.2 二元非张量积型连分式插值 |
| 3.2.3 预给极点的二元向量连分式插值 |
| 3.2.4 数值例子 |
| 4 保渐近线的扩展连分式插值 |
| 4.1 保水平渐近线的扩展连分式插值 |
| 4.1.1 保水平渐近线的扩展连分式插值 |
| 4.1.2 数值例子 |
| 4.2 保斜渐近线的扩展连分式插值 |
| 4.2.1 保斜渐近线的扩展连分式插值 |
| 4.2.2 数值例子 |
| 5 总结及未来的工作 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 未来的工作设想 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介及读研期间的主要研究成果 |
| 作者简介 |
| 读研期间的学术着作 |
（2）实验点集代数插值的可信验证算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究的目的和意义 |
| 1.2 国内外研究现状及对比分析 |
| 1.3 论文的主要内容 |
| 第2章 计算机代数的基本知识 |
| 2.1 符号计算方面 |
| 2.2 数值计算方面 |
| 第3章 可信验证 |
| 3.1 可信验证方法的研究现状 |
| 3.2 区间运算 |
| 3.3 区间牛顿迭代法 |
| 3.4 点估计 |
| 第4章 多项式插值的误差可控算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要结论 |
| 4.3 主要算法 |
| 4.4 应用实例 |
| 第5章 重心坐标有理插值的误差可控算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 主要结果 |
| 5.4 主要算法 |
| 5.5 应用实例 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 附录A 第4章相关程序代码 |
| 附录B 第5章相关程序代码 |
| 攻读硕士学位期间取得的成果 |
| 致谢 |
（3）多元数据变换逼近算法及应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 引言 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 逼近论简介 |
| 1.2 数据变换简介 |
| 1.3 一元数据变换逼近 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 中轴 |
| 1.4.2 K-means算法 |
| 1.4.3 粒子群优化算法 |
| 1.4.4 3D Slicer简介 |
| 1.5 主要研究内容 |
| 第2章 函数逼近的误差分析 |
| 2.1 插值余项定理证明 |
| 2.2 Lagrange插值方法误差分析的证明 |
| 2.3 Newton插值法的误差分析的证明 |
| 2.4 Hermite插值误差分析的证明 |
| 2.5 分段低次插值的误差分析 |
| 2.5.1 分段线性插值 |
| 2.5.2 分段三次Hermite插值 |
| 2.6 三次样条插值的误差分析 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 最优外部中轴提取算法 |
| 3.1 复杂几何形体的最优外部中轴 |
| 3.2 算法分析 |
| 3.3 基于K-means聚类的搜索空间优化处理 |
| 3.3.1 K-means聚类算法 |
| 3.3.2 复杂度分析 |
| 3.3.3 三维特定区域点云搜索空间优化分析 |
| 3.4 改进自适应权重粒子群的点云搜索算法 |
| 3.4.1 粒子群优化算法 |
| 3.4.2 基于聚类中心距离的粒子初始化 |
| 3.4.3 NAIW算法 |
| 3.5 实验方案与结果 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 分叉定位算法及其在医学中的应用 |
| 4.1 二子管引流管的最优路径规划 |
| 4.2 由交点可确定的已知条件 |
| 4.2.1 求子管分叉点的坐标 |
| 4.2.2 求子管的方向向量 |
| 4.3 三子管引流管的最优路径规划 |
| 4.3.1 求子管分叉点的坐标 |
| 4.3.2 求子管的方向向量 |
| 4.4 应用研究背景 |
| 4.5 特定区域点云提取 |
| 4.5.1 特定区域建模 |
| 4.5.2 锁定特定区域的位置 |
| 4.5.3 基于阈值法提取特定区域 |
| 4.6 实例分析 |
| 4.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 导师简介 |
| 作者简介 |
| 学位论文数据集 |
（4）关于Michalik连分式若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 有理函数插值 |
| 1.2.1 有理插值的一般算法 |
| 1.2.2 Michalik连分式插值 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 2. 二元Michalik连分式插值 |
| 2.1 Michalik连分式插值的二元形式 |
| 2.2 三项递推公式及特征定理 |
| 2.2.1 二元连分式插值的三项递推公式 |
| 2.2.2 特征定理 |
| 2.3 二元Michalik连分式插值不可达点的修正处理方法 |
| 2.4 数值例子 |
| 2.5 本章小结 |
| 3. 预给极点的二元有理插值 |
| 3.1 预给极点的二元Michalik连分式插值 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 基本思想与方法 |
| 3.1.3 数值例子 |
| 3.2 基于散乱数据预给极点的两类二元有理插值对比研究 |
| 3.2.1 引言 |
| 3.2.2 二元对角逐步有理插值 |
| 3.2.3 二元非张量积型连分式插值 |
| 3.2.4 散乱点集上预给极点的二元有理插值的基本思路 |
| 3.2.5 数值实例 |
| 3.3 本章小结 |
| 4. 基于Michalik连分式的重心混合有理插值 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基于Michalik连分式的一元重心混合有理插值 |
| 4.2.1 一元Michalik重心混合有理插值的构建 |
| 4.2.2 数值例子 |
| 4.3 基于Michalik连分式的二元重心混合有理插值 |
| 4.3.1 二元Michalik重心混合有理插值的构建 |
| 4.3.2 数值例子 |
| 4.4 本章小结 |
| 5. 总结及未来的工作 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2. 未来的工作设想 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介及读研期间主要研究成果 |
（5）有关层次网格上的样条方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 CAGD中的曲线曲面简介 |
| 1.2 多元样条简介 |
| 1.3 多元样条空间维数 |
| 1.4 多元样条空间基函数 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 2 带有嵌套T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性 |
| 2.1 研究背景 |
| 2.2 T网格的相关概念和符号记法 |
| 2.3 S(2,2,1,1.T_1)维数奇异性 |
| 2.4 S(2,2,1,1,T_2)维数奇异性 |
| 2.5 S(2,2,1,1,T_3)维数奇异性 |
| 2.6 带有N-嵌套T圈的T网格维数稳定公式 |
| 2.7 并行T圈的T网格实例 |
| 2.8 本章小节 |
| 3 基于任意层次T网格剖分的分片孔斯插值曲面重构 |
| 3.1 研究背景 |
| 3.2 PHT样条 |
| 3.2.1 层次T网格 |
| 3.2.2 层次T网格上的样条空间维数 |
| 3.2.3 PHT样条基函数 |
| 3.3 任意层次T网格上的分片孔斯曲面 |
| 3.3.1 孔斯曲面 |
| 3.3.2 层次T网格上的分片孔斯曲面及其求值算法 |
| 3.3.3 层次T网格的几何信息转换矩阵M的算法 |
| 3.4 层次T网格上的分片孔斯曲面重构 |
| 3.4.1 基于最小二乘法的分片孔斯曲面拟合 |
| 3.4.2 自适应层次T网格上的分片孔斯曲面逼近算法 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.5.1 无噪声数值算例 |
| 3.5.2 带噪声数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 基于局部加密的层次四边形网格上的3次样条曲面重构 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 层次四边形网格 |
| 4.3 任意层次四边形网格上的3次样条曲面 |
| 4.3.1 三角形域上的B网方法 |
| 4.3.2 16节点平面四边形样条 |
| 4.3.3 12参数的四边形样条 |
| 4.3.4 层次四边形网格上的3次样条曲面及其求值算法 |
| 4.3.5 层次四边形网格的几何信息的转换矩阵M的算法 |
| 4.4 层次四边形网格上的3次样条曲面重构 |
| 4.4.1 基于最小二乘法的3次样条曲面拟合 |
| 4.4.2 自适应层次四边形网格上的3次样条曲面逼近算法 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.5.1 无噪声数值算例 |
| 4.5.2 带噪声数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（6）解析逼近方法和谱方法中几类问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 Adomian分解法 |
| 1.1.2 同伦分析方法 |
| 1.1.3 谱方法 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 文章结构 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 重要不等式 |
| 1.4.2 二元函数的低秩逼近 |
| 1.4.3 Poisson和定理 |
| 2 Adomian分解法的原理 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Lyapunov's人工小参数法 |
| 2.3 Adomian分解法算法原理 |
| 2.4 小结 |
| 3 带有收敛加速参数的解析逼近方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 AMP算法 |
| 3.3 AMP的应用 |
| 3.3.1 非线性热变换问题 |
| 3.3.2 非线性悬臂梁静电NEMS模型 |
| 3.3.3 非线性Burgers方程 |
| 3.3.4 非线性正则长波方程 |
| 3.4 小结 |
| 4 2n阶Lidstone微分方程解的存在唯一性和误差估计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 2n阶线性微分方程 |
| 4.3 2n阶非线性微分方程 |
| 4.4 应用例子 |
| 4.5 小结 |
| 5 半无限区域上加速收敛的有理Chebyshev谱方法 |
| 5.1 半无限区域上有理Chebyshev谱方法 |
| 5.2 加速收敛途径:映射 |
| 5.3 应用:Thomas-Fermi方程 |
| 5.3.1 问题描述 |
| 5.3.2 系数的复渐近 |
| 5.3.3 迭代和消元 |
| 5.3.4 去初始点平方根奇异性 |
| 5.3.5 解的渐近表达式 |
| 5.3.6 恒等映射 |
| 5.3.7 二次映射 |
| 5.3.8 Sinh映射 |
| 5.3.9 有理Chebyshev谱方法的比较 |
| 5.3.10 Fourier区域截断法 |
| 5.3.11 Newton-Kantorovich迭代失效的情况 |
| 5.3.12 数值结果 |
| 5.4 小结 |
| 6 多元Fourier和Chebyshev级数的最优截断 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 谱系数的包络函数 |
| 6.3 双曲坐标 |
| 6.4 截断和最优截断 |
| 6.5 几类函数的最优截断 |
| 6.6 强各向异性和长方形截断 |
| 6.7 Poisson和及最优截断 |
| 6.8 双曲坐标中的Fourier逆变换 |
| 6.9 数值例子 |
| 6.10 球面、三角形和圆盘上的最优截断 |
| 6.10.1 球面 |
| 6.10.2 三角形 |
| 6.10.3 圆盘 |
| 6.11 小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 创新点 |
| 7.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（7）基于重心权有理插值函数的预测模型研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 支持向量机分类预测模型 |
| 1.2.2 非参数回归预测模型 |
| 1.2.3 半参数回归预测模型 |
| 1.2.4 灰色预测模型 |
| 1.2.5 重心权有理插值函数 |
| 1.3 结构安排与主要创新 |
| 1.3.1 结构安排 |
| 1.3.2 主要创新 |
| 第二章 重心权有理插值函数的理论研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 插值公式 |
| 2.3 收敛性质 |
| 2.4 重心权形式 |
| 2.5 实验研究 |
| 2.6 结论分析 |
| 第三章 基于重心权有理插值函数的SVM分类预测模型 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 核函数构造 |
| 3.2.1 基于一元重心权有理插值的核函数 |
| 3.2.2 基于多元重心权有理插值的核函数 |
| 3.3 实验研究 |
| 3.4 结论分析 |
| 第四章 基于重心权有理插值函数的非参数回归预测模型 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型与方法 |
| 4.2.1 非参数回归预测模型 |
| 4.2.2 基函数的构造 |
| 4.2.3 模型估计与检验 |
| 4.2.4 节点选择 |
| 4.2.5 模型预测 |
| 4.3 实验研究 |
| 4.3.1 利率期限结构 |
| 4.3.2 模型估计与检验 |
| 4.3.3 预测表现 |
| 4.4 结论分析 |
| 第五章 基于重心权有理插值函数的半参数回归预测模型 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型与方法 |
| 5.2.1 半参数回归预测模型 |
| 5.2.2 基函数的构造 |
| 5.2.3 模型估计与检验 |
| 5.2.4 模型选择 |
| 5.2.5 模型预测 |
| 5.3 实验研究 |
| 5.3.1 菲利普斯曲线模型 |
| 5.3.2 模型估计与检验 |
| 5.3.3 预测表现 |
| 5.4 结论分析 |
| 第六章 基于重心权有理插值函数的灰色预测模型 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 基于重心权有理插值函数的GM(1,1)模型 |
| 6.2.1 降低谱条件数 |
| 6.2.2 正交变换求解 |
| 6.2.3 背景值重构 |
| 6.2.4 参数优化 |
| 6.2.5 实验研究 |
| 6.3 基于向量值重心权有理插值函数的MGM(1,m)模型 |
| 6.3.1 建模方法 |
| 6.3.2 实验研究 |
| 6.4 结论分析 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 研究总结 |
| 7.2 研究展望 |
| 7.2.1 重心权有理插值在本文模型中的应用 |
| 7.2.2 重心权有理插值在其他模型中的应用 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术活动及成果情况 |
（8）仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 引言 |
| 第一章 研究背景 |
| 1.1 重心有理插值 |
| 1.2 逼近性质 |
| 第二章 仿射节点的构造 |
| 2.1 常用插值节点 |
| 2.2 仿射节点的构造与性质 |
| 第三章 收缩仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质 |
| 3.1 基础知识 |
| 3.2 n为偶数的情况 |
| 3.3 n为奇数的情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 第四章 膨胀仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质 |
| 4.1 n为偶数的情况 |
| 4.2 n为奇数的情况 |
| 4.3 数值实验 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 后记 |
| 攻读学位期间取得的科研成果清单 |
（9）Sinc函数的非线性逼近及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 Sinc函数 |
| 1.2 样条函数 |
| 1.3 Pad6逼近及代数函数逼近 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 2 Sinc函数的[2/4]型Pade逼近及其应用 |
| 2.1 背景介绍 |
| 2.2 Sinc函数的Pade逼近 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.3.1 有限带宽函数 |
| 2.3.2 非有限带宽函数 |
| 2.4 参数的特点 |
| 2.4.1 有限带宽函数 |
| 2.4.2 非有限带宽函数 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 Sinc函数的[2/6]型Pade逼近及其应用 |
| 3.1 Sinc函数的Pad6逼近 |
| 3.2 四类Pade逼近的数值实验 |
| 3.2.1 有限带宽函数 |
| 3.2.2 非有限带宽函数 |
| 3.3 [2/6]型Pade逼近与三类收敛因子的数值比较 |
| 3.3.1 有限带宽函数 |
| 3.3.2 非有限带宽函数 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 Sinc函数的3/1型有理样条函数逼近及其在图像处理中的应用 |
| 4.1 背景介绍 |
| 4.2 关于Sinc函数的几种插值方法 |
| 4.2.1 最近邻域插值 |
| 4.2.2 线性插值 |
| 4.2.3 3次卷积插值 |
| 4.2.4 3次B样条函数插值 |
| 4.2.5 高斯函数插值 |
| 4.2.6 有理样条函数插值 |
| 4.3 Sinc函数的3/1型有理样条函数插值 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 线性多步差分格式不稳定性的一个新证明 |
| 5.1 背景介绍 |
| 5.2 指数函数的逼近和差分格式 |
| 5.3 不稳定性 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）多元有理插值方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 背景知识 |
| §1.2 本文的主要内容 |
| 第二章 几种经典插值方法 |
| §2.1 一些定义及定理 |
| §2.2 一些经典的数值插值方法 |
| 第三章 矩形网格上Barycentric-Newton型混合有理插值 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 插值定理及性质 |
| 第四章 三角网格上的Lagrange-Stieltijes型有理插值 |
| §4.1 插值定理 |
| §4.2 特征定理 |
| §4.3 数值例子 |
| 第五章 方形网格上的Stieltijes型混合有理插值 |
| §5.1 二元混合有理插值 |
| §5.2 特征定理及误差分析 |
| §5.3 数值例子 |
| 第六章 总结与展望 |
| §6.1 文章总结 |
| §6.2 进一步的工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 研究生期间主持项目及发表文章 |
四、一种多元有理插值逼近（论文参考文献）
- [1]关于连分式插值方法的若干研究[D]. 孙思梦. 安徽理工大学, 2020(04)
- [2]实验点集代数插值的可信验证算法[D]. 郑锴. 长春理工大学, 2020(01)
- [3]多元数据变换逼近算法及应用研究[D]. 潘秋玲. 华北理工大学, 2020
- [4]关于Michalik连分式若干问题的研究[D]. 胡枫. 安徽理工大学, 2019(01)
- [5]有关层次网格上的样条方法的研究[D]. 王鹏霄. 大连理工大学, 2019(01)
- [6]解析逼近方法和谱方法中几类问题研究[D]. 张晓龙. 大连理工大学, 2019(01)
- [7]基于重心权有理插值函数的预测模型研究[D]. 荆科. 合肥工业大学, 2017(08)
- [8]仿射节点上Berrut有理插值的逼近性质[D]. 许明明. 河北师范大学, 2016(02)
- [9]Sinc函数的非线性逼近及其应用[D]. 郭兵. 大连理工大学, 2015(06)
- [10]多元有理插值方法的研究[D]. 陈艳秋. 安徽大学, 2013(11)
标签：多元函数论文; 空间插值论文; 层次模型论文; matlab函数论文; 网格系统论文;